Уточнение вида зависимости

Далее будут приведены некоторые определения и то, что из них следует для большей определенности функции привлекательности.

Математически в предположении о совпадении часть, касающаяся пропорциональности изменения условий dxs и dys, означает, что

dxs=dys "s (2.1)

где через ‘обозначено дифференцирование.

Из справедливости гипотезы 2, т. е. из неизменности интенсивностей перехода при выполнении (2.1), следует, что функции предпочтения для аргументов с индексом s удовлетворяют уравнениям

,"s, (2.2)

где индекс s у функций j» и y» появился из-за того, что коэффициенты пропорциональности в гипотезе 2 могут быть разными для разных условий, т. е. зависеть от самого условия, следовательно, и от его номера s. Разные функции f и y подчеркивают лишь то, что отношение к «журавлю в небе» – y

другое, чем к «синице в руках» – x

.

Решением дифференциального уравнения (2.2), если (2.1) справедливо для любого s, будет произвольная дифференцируемая функция F от m аргументов zs (s=1,2,…, m), где вместо аргументов стоят разности fs(xs)-ys(ys), т. е.

f (x

, y

)=F[y1(y1)-f1(x1), y2(y2)-f2(xs),¼, ym(ym)-fm(xm)]. (2.3)

Кроме того, из (2.3) следует выполнение гипотезы 1 о совпадении. Итак, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.

Для выполнения гипотез 1 и 2 (т. е. соотношений (2.1) и (2.2) независимость всех функций из них от человека) необходимо и достаточно, чтобы функция привлекательности имела вид (2.3)

Замечание.

Легко ослабить требование гипотезы 1, полагая, она справедлива лишь для людей каждой группы i. Для этого нужно учесть зависимость всех произвольных функций F, f и y от группы, добавив к ним еще индекс i. Кроме того, уже упоминалось монотонно возрастающее преобразование функции привлекательности, переводящее предпочтения в интенсивности перехода, которое может зависеть от группы, содержащей человека x

. Это далее используемое преобразование также эквивалентно добавлению индекса i, который отражает влияние группы, но лишь на функцию F.

Результат теоремы говорит лишь о том, что гипотезы 1 и 2 эквивалентны соотношению (2.3). Если же функцию привлекательности невозможно привести к такому виду, то, значит, одна из гипотез несправедлива, но остается не ясным, что нужно править. Слабым утешением служит и то, что все используемые на практике функции легко приводятся к виду (2.3) подбором преобразований факторов f и y функции F.

Таким образом, выполнение требований такого взаимодействия факторов, которое выражается гипотезой 2 о самовозмещении, позволяет еще больше уточнить функцию предпочтения (привлекательности). Но это уточнение означает только, что всегда можно оставить той же самой привлекательность новой группы, возникшей из-за изменения в ней какого-либо фактора, изменением того же самого фактора в старой. Однако остается открытым вопрос о выравнивании привлекательности из-за изменения одного фактора, например, дохода путем изменения других факторов, например, экологических и жилищных условий. В данном случае все зависит от вида произвольной функции F(z1, z2,…., zm), определяющей привлекательность (предпочтение).

Если же заведомо ясно, что все факторы x

(и, соответственно, y

) можно разделить на несколько совокупностей так, что эффективность действия на предпочтения отдельного человека факторов из одной не подвержены влиянию факторов из другой, то возникает задача: может ли такое свойство независимости эффективности факторов из одной совокупности от значений из другой (или короче независимости по эффективности) дать возможность уточнить функцию предпочтения. Не уменьшая общности, можно начать с двух совокупностей x